2)剪切弹簧:在质点Ｐｉｊ和Ｐｉ+1,ｊ+1间,以及Ｐｉ+1,ｊ和Ｐｉ,ｊ+1间的弹簧为剪切弹簧。剪切弹簧是为了防止织物在自身平面过渡和不真实的变形,而给织物的一个剪切刚性。3)弯曲弹簧:在质点Ｐｉｊ和Ｐｉ+2,ｊ间,以及Ｐｉｊ和Ｐｉ,ｊ+2间的弹簧为弯曲弹簧,弯曲弹簧是为了防止织物弯曲。2.2 质点的位移在缝合衣片过程中,衣片上所有质点因受力而产生一定的位移,质点位移我们选用Ｎｏｗｔｏｎ运动定律来描述:Ｆ外力(ｉ,ｊ)+Ｆ内力(ｉ,ｊ)=ｍａ(ｉ,ｊ)其中,ｍ是质点Ｐ(ｉ,ｊ)的质量。在本文中,我们假定布料是各向均质的,因此,质点的质量可由衣片总质量除以质点总数得到,ａ(ｉ,ｊ)是该点加速度,Ｆ外力(ｉ,ｊ)是该点所受的外力,Ｆ内力(ｉ,ｊ)是该点所受的内力。为了简化模型,在我们三维服装ＣＡＤ系统中,只考虑两种外力:缝合力和重力。可以用以下公式来表示:Ｆ外力(ｉ,ｊ)=Ｆ缝合力(ｉ,ｊ)+Ｆ重力(ｉ,ｊ)
在衣片缝合过程中,为了将不同的衣片缝在一起,我们在衣片对应缝合边上加载缝合力。在模型中,缝合力被定义成对应缝合点之间距离的线性函数。对两个缝合点ｐｉ,ｊ和ｑｉ,ｊ间的缝合力,可以按如下公式计算:Ｆ缝合力(ｉ,ｊ)=Ｃｓ Ｄｉｓ(ｐｉ,ｊ,ｑｉ,ｊ) Ｎｐｉ,ｊ-ｑｉ,ｊ式中Ｃｓ为缝合力系数,该系数与织物的缝合性能有关,通常,较难变形的布料采用较大的缝合力系数;Ｄｉｓ(ｐｉ,ｊ,ｑｉ,ｊ)表示两缝合点ｐｉ,ｊ和ｑｉ,ｊ间的距离;Ｎｐｉ,ｊ-ｑｉ,ｊ表示从ｐｉ,ｊ点指向ｑｉ,ｊ点的单位方向矢量。为了获得较真实的仿真效果,我们在变形模型中考虑了衣片所受的重力。质点所受的重力可按如下公式计算:Ｆ重力(ｉ,ｊ)=ｍｉ,ｊ ｇ式中ｍｉ,ｊ为质点ｐｉ,ｊ的质量。在弹簧质点模型中,唯一考虑的弹性内力是弹簧的弹性变形力,由于采用的是理想的弹簧质点系统,可以利用胡克(Ｈｏｏｋｅ)定律来计算弹簧的弹性变形力:Ｆ内力(ｉ,ｊ)=-∑(ｋ,ｌ)∈Ｒｋ(Ｐｉ,ｊＰｋ,ｌ-‖Ｐｉ,ｊＰｋ,ｌ‖0Ｐｉ,ｊＰｋ,ｌ‖Ｐｉ,ｊＰｋ,ｌ‖) 其中,ｋ是弹簧的弹性变形系数,Ｒ是Ｐ(ｉ,ｊ)邻点的集合,‖Ｐｉ,ｊＰｋ,ｌ‖0表示质点Ｐ(ｉ,ｊ)与质点Ｐ(ｋ,ｌ)之间的原始距离,弹簧的弹性变形系数ｋ可以依据所选用织物的材料性能参数曲线确定。
2.3 织物变形模型的求解我们选择显式欧拉方法来求解织物变形模型。求解公式如下:ａｉ,ｊ(ｔ+△ｔ)=1ｍｉ,ｊＦｉ,ｊ(ｔ)Ｖｉ,ｊ(ｔ+△ｔ)=Ｖｉ,ｊ(ｔ)+△ｔａｉ,ｊ(ｔ+△ｔ)Ｐｉ,ｊ(ｔ+△ｔ)=Ｐｉ,ｊ(ｔ)+△ｔＶｉ,ｊ(ｔ+△ｔ)其中,Ｆｉ,ｊ是质点Ｐ(ｉ,ｊ)所受所有力的合力,ｍｉ,ｊ(ｔ)是质点Ｐ(ｉ,ｊ)的质量,ａｉ,ｊ(ｔ)、Ｖｉ,ｊ(ｔ)和Ｐｉ,ｊ(ｔ)分别是质点Ｐ(ｉ,ｊ)在时间ｔ的加速度,速度和位置。△ｔ是系统选定的时间步长。
3 基于ＡＡＢＢ树层次包围盒的碰撞检测
3.1 建立ＡＡＢＢ树一个碰撞体的ＡＡＢＢ被定义为包含该碰撞体,且边平行于坐标轴的最小六面体。因此,描述一个ＡＡＢＢ,仅需六个标量。在构造ＡＡＢＢ包围盒时,需沿着碰撞体局部坐标系统的轴向(Ｘ,Ｙ,Ｚ)来构造,所以所有的ＡＡＢＢ包围盒具有一致的方向。
ＡＡＢＢ树是基于ＡＡＢＢ的二叉树,按照由上至下的递归细分方式构造生成的。在每一次递归过程中,要求取最小的ＡＡＢＢ,需沿所选择的剖分面将碰撞体分为正负两半,并将所对应的原始几何元素(如三角面)分别归属正、负两边,整个递归过程类似于空间二叉剖分,只是每次剖分的对象是ＡＡＢＢ,而不是空间区域。递归细分一直要进行到每一个叶子节点只包容一个原始几何元素为止,所以具有ｎ个原始几何元素的ＡＡＢＢ树具有ｎ-1个非叶子节点和ｎ个叶子节点。对于剖分面的选择,在本文中,选择垂直ＡＡＢＢ的最长轴,且平分该轴的平面。经试验证明,这种方式,在大多数情况下的算法复杂度仅为Ｏ(ｎｌｏｇｎ),较其它的剖分面选择方法有了极大的提高。至于原始几何元素的归属则应依据几何元素的重心Ｐ在最长轴上的投影坐标。若投影坐标大于剖分面的坐标(ｍｉｄ),则在剖分面的正向,否则在负向,如图2所示。 图2 三角面归属负区域,因为其质心投影坐标小于剖分面的基准坐标 |
