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立体几何中二面角的平面角的定位

来源： [ 2006-9-7 11:09:50 ] 作者：编辑：

三、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是
分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的
消极作用，培养思维的广阔性和批判性。
例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的
一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？
如图，过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR为二面角A—BC—R平面角，结合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR为平行四边形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以这道题的答案应该是5个面！
2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却
表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？
由特征Ⅲ，有了“垂线段”便可定位。
例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一
点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。

　　
作法一：∵A—CP—B为直角二面角，
∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。
∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。
∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′，
∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。
再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。
由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。

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