2  系统数学模型

    功率键合图建模方法的第二步是推导系统的数学模型。在推导系统动态过程的数学模型——状态方程时，首先要确定状态变量。应用键合图方法建模的方便之处就在于对状态变量的确定有一定之规，可遵循固定的法则。

    由于系统的状态方程是一阶微分方程组，在其变量间有导数关系，而在键合图中，只有流容C和流感L作用元中的两个变量间才有导数或积分关系，所以应当从C元和L元各自的变量间取一个变量作为状态变量。

    对于C元，自变量为流量，因变量为压力，其关系为：

　　         　　　　　　(1)

    对于L元，自变量为压力，因变量为流量，其关系为：

                                               (2)

    对于R元，流量和压力之间的关系有：

                                                     (3)

    根据规则，取C元功率键上的压力变量p和L元功率键上的流量变量Q为状态变量,状态变量的一阶导数即为状态方程。

    因此，对于0结点，由(1)式两边取导数可得：

                             (4)

其中， 是第i个0结点处的压力， 为输入血流量， 为输出血流量， 是第i个0结点处的流容。

    对于1结点，由(2)式和(3)式可得：

                         (5)

其中， 是第i个１结点处的血流量， 为上流压力， 为下流压力， 和 分别是第i个１结点处的流阻和流感。

　　对每个0节点和1结点都建立类似(4)和(5)的关系式，则可以得到系统的数学模型。本模型的数学模型是36阶的状态空间方程，即模型由36个一阶微分方程组成。下面列出了主动脉循环部分的状态方程：

                                      (6)

                                               (7)

                                                          (8)

                                  (9)

                                (10)

    (11)

    其中，C_ta、C_aa、C_ar分别是胸主动脉、腹主动脉、外周动脉的流容；L_ta、L_aa、L_ar、L_vn分别是胸主动脉、腹主动脉、外周动脉和腔静脉的流感；R_ta、R_aa、R_sa、R_pc和R_sv是分别表示胸主动脉、腹主动脉、外周动脉、外周循环和腔静脉的流阻。p_tao、p_aao、p_sar和Q_tao、Q_aao、Q_sar分别是动脉循环中的胸主动脉、腹主动脉、外周动脉部分的压力和流量。

　　血液循环是由心脏的舒张－收缩动作推动的，本文采用了心室时变流容 来表示这种舒张－收缩动作， 是时间的周期函数。

    对于循环系统中的膜瓣作用，可以作为模型的约束条件加入到系统数学模型当中：当血液正向流动时，膜瓣阻力为一较小的数值；当血液反向流动时，膜瓣阻力为无穷大，即阻止血液倒流。

　　本模型中的流容、流阻和流感参数参照文献[4]。