3 慢变意义上的逆动力学

    在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部分滤掉，弹性坐标中不应含有振动部分，再结合期望的 、 求得力矩。

    如图1所示，机械臂的各参数：L1=0.87m, L2=0.77m, M1=1.9kg, M2=0.8kg, m1=12.75kg, m2=2.4kg, =602.5 , =218 。期望运动轨迹：机械臂端点绕以(0.8, 0)为圆心，做半径为0.5m,以每周1s作匀速圆周运动。

    由机械臂的动力学仿真结果可以看到，弹性坐标的一阶、二阶时间导数项振动幅值很大，但它们都在零值附近振动，即其慢变部分很小。因此，在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项，相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，经过整理得到如下形式：

                      (7)

式中， 、 、 中含 、 及其一阶时间导数项。

将式(1)代入式(7)中，再对方程求解，可以得到弹性坐标和力矩，弹性坐标见图2（图中不含振动的曲线）。为了考察得到的力矩，将力矩代入动力学方程式(2)中，得到的各弹性坐标见图2（图中含振动的曲线），轨迹跟踪曲线、端点坐标与期望运动相比较的误差曲线分别见图3和图4。

含振动部分的弹性坐标

弹性坐标的慢变部分

 










图2 各弹性坐标
Fig.2 Elastic coordinates












图3 端点轨迹跟踪
Fig.3 Track following of the end point













图4 端点运动的x和y方向坐标误差
Fig.4 the errors of coordinates in x and y Directions for the end movement

     由图2中可以看出，由式(7)得到的弹性坐标（不含振动）与机械臂的动力学仿真得到的弹性坐标（含振动）的慢变部分十分相似，所以在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，说明这种方法是合理的。
由图3与图4给出的仿真结果可以看出，轨迹跟踪很好，由此可见，得到的力矩精度很高.

4 结束语

    由图2可以看到，机械臂在运动过程中，其弹性坐标由两方面组成，一方面是振动部分（快变部分），另一方面是与载荷、惯性力有关的慢变部分。而弹性坐标速度、加速度的慢变部分很小，在逆动力学求解中将其略去是合理的，由式(7)得到了比较准确的弹性坐标慢变部分并非偶然。
由以上分析可以看出，对于柔性机械臂系统，振动部分的精确逆动力学解是发散的，进行逆动力学求解时，应滤掉振动部分，在慢变的意义上进行，才能得到比较好的前馈力矩。