摘  要  基于TVD格式的有限差分算法思想，考虑节点与单元的对应关系，对任意四边形单元各边的通量采用优选限量函数的组合型TVD格式进行插值，在时间上采用两步Runge-Kutta法离散，建立了守恒型浅水方程有限体积的高分辨率计算模型。首次针对180°强弯曲河道、90°双支以及45°三支分叉渠道，数值预报了溃坝波的演进过程，揭示了溃坝波在弯曲河道中内外两岸速度与水位变化，在分叉河道中自动进行流量与动量再分配，在叉点角区形成旋涡、壅高等复杂运动特征，同时反映了湿底与干底的影响。

关键词  浅水方程，有限体积，TVD格式，弯曲渠道，分叉渠道，溃坝波

1．前言

    许多水利和环境工程问题，都需要进行浅水流动分析，数值计算逐渐成为分析的重要手段。虽然二维浅水流动一般问题的计算比较成熟，但对于有间断、带自由面、含复杂边界等复杂浅水问题的研究，由于对数值计算方法要求较高仍处于发展之中。对溃坝问题的研究，一直是引人关注的重要课题，具有重要的学术价值和工程应用背景。

过去对溃坝问题的研究，以差分方法为主，所用的格式有特征线法、显式和隐式差分法以及最近占据重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式^[1]在该类问题研究中也逐渐发挥其独特的作用, 如用来计算一维溃坝波的传播、反射^[2~5]和二维溃坝波的传播、反射与绕射^[6~9]。对于复杂边界，通常采用坐标变换，将不规则计算域转换到规则计算域，但同时方程也复杂化。近年来，在有限体积离散基础上的近似黎曼解法，用于计算浅水流动（包括溃坝波）问题，取得了良好效果^[10~13]。但另一类高分辨率格式—TVD格式用在有限体积方法中尚不多见。

传统TVD格式形式多样，数值性能也有一定差异，有的耗散性偏大，有的压制性过强，主要在于所选用的限量函数的不同。作者在溃坝波计算的比较研究中，发现有的限量函数在计算干底情况下的溃坝波时会出现坝址处的非物理扭曲现象，通过深入研究，得到了优选的限量函数，并建立了求解浅水方程带最优限量函数的组合型TVD格式^[9]。与实验结果进行比较，进一步表明采用浅水方程和组合型TVD格式能有效地描述溃坝波的运动特征^[6]。在文献[8]中提出了卫星单元概念和主单元及其卫星单元间的拓扑关系，把节点和单元对应起来，建立了浅水方程在任意四边形单元上的有限体积TVD格式，可以直接在任意控制单元上进行求解。本文拟进一步用于解决具有复杂边界，例如弯曲与分叉渠道溃坝波传播的计算问题。关于弯曲河道，国外有一些实验结果^[14]，而分叉河道中溃坝波的预报，国内外至今未见报道。本文算法的成功实现，可以较好地解决天然河道溃坝波的计算问题，这将有助于对实际河道溃坝波运动特征的进一步认识和为防灾减灾决策提供可靠依据。

2        控制方程

描述溃坝流动的控制方程一般是通过作静水压力、小底坡和长波假定，对Navier-Stokes方程进行深度平均而得到的浅水方程，将其写成守恒形式为

                              (1a)

其中

     (1b)                        

这里h是水位， 分别是x、y方向的单宽流量、底坡和摩阻坡降。

摩阻坡降 、 可由曼宁公式确定

                          (2)

式中n为曼宁粗糙系数。

3        有限体积TVD格式

    文献[8]提出了卫星单元概念并定义了单元的几何拓扑关系，在此基础上，构造了任意四边形单元的有限体积高分辨率格式。但采用的是一参数限量函数，本文采用优选的限量函数^[9]，以避免在干河时出现非物理扭曲。

    针对单元i(内部区域 ，边界 )，对(1a)式进行积分，得到积分形式的方程

                                  (3)

式中A为区域 的面积，dl为边界 的弧长，n为边界 的外法向单位向量。边界 由四条线段组成，上式左端第2项可以写成

                                           (4)

其中 为边长， 为第k边外法向通量。

    设向量U在单元内部保持不变，进一步离散(3)式，得到有限体积基本方程

                                        (5)

其中 满足

                                       (6)

    利用F(U)和G(U)的旋转不变性，引入旋转变换矩阵 及其逆矩阵 可改写（5）式为

                                (7)

其中

            ( 8)

    记(7)式右端为 ，则有

                                   (9)

采用两步Runge-Kutta法离散上式，时间精度也可以达到二阶，得到

                        (10)

    在每一单元的每一边，其通量按组合型TVD格式给出(例如对于单元i的第1边)

                                     (11)

式中 为单元i和卫星单元1的第l个右特征向量的算术平均。采用组合型TVD格式进行插值，

                         (12)

其中 代表单元i和卫星单元1的第l个特征速度的算术平均， 为二单元特征变量差分的算术平均， 为限量函数，采用文献[8]优选得到的MUSCL型限量函数，

             (13)

其中0.138正是计算溃坝波时，介于缓流（亚临界流）与急流（超临界流）之间的临界水深比。当初始下游与上游的水深比较大（湿底）时，宜采用单参数限量函数 ，否则，在干底时宜采用双参数限量函数 以避免在坝址附近的非物理扭曲现象。

                (14)

                  (15)         

其中

         (16)

              (17)

     时空步长比为

                                                        (18)

其中 表示单元i和卫星单元1形心之间的距离。